4.2 द्विघात समीकरण
वस्तुनिष्ठ प्रश्न
1. निम्नलिखित में कौन द्विघात समीकरण नहीं है? [2021AI] (A) 3x-x²=x²+5
(B) 〖(x+2)〗^2=2(x²-5)
(C) (√2 x+3)²=2x²+6
(D) (x-1)^2=3x²+x-2
2.निम्नलिखित में से कौन सा द्विघात समीकरण है? [2020AI] (A) 2x^3-3x=(x+1)²
(B) x²-2√x+3=0
(C) 3x²+2=(3-x)²+4
(D) x²- 1/x² =4
3. निम्नलिखित में कौन सा द्विघात समीकरण नहीं है? [2020AII]
(A) 5x+2x²=x²+3
(B) x²-x²=(x-1)²
(C) (x+3)²=3(x²-5)
(D) (√2 x+3)²=2x²+5
4. निम्न में कौन द्विघात समीकरण नहीं है? [2019AI]
(A) 〖(x+2)〗^3=x(x²-1)
(B) 〖(x+1)〗^2=2(x-3)
(C) (x-2) (x+2)=5
(D) x^2+1/x^2 =2
5. निम्नलिखित में कौन द्विघात समीकरण है? [2016C]
(A) 4x+6=0
(B) ax²-bx+c=0
(C) x(x+3)= x²
(D) x²+ 1/x^2 =2
6. द्विघात समीकरण x²+5x-6=0 का घात है—
(A) 1
(B) 0
(C) 2
(D) 3
7. निम्नलिखित में से कौन-सा द्विघात समीकरण है? [2022AI]
(A) x²-4√x+4=0
(B) x²- 1/x^2 =9x
(C) 2x²-2x+1=(2-x)²+2
(D) x²+4x+4= (x²-1)²
8. निम्नलिखित में से कौन-सा द्विघात समीकरण नहीं है? [2022AI]
(A) 3(x+1)²= x²-2x+4
(B) 4x-x²=x²+5
(C) (√3x+√5)²+x²=4
(D) 16x³=(x²+3x)²+7
9. निम्नलिखित में से कौन द्विघात समीकरण नहीं है? [2022AII]
(A) 〖(x+1)〗^2=2(x – 3)
(B) 〖(x–2)〗^2+1=2x–3
(C) (x-2 ) (x+1)=(x-1) (x+3)
(D) x (2x+3)=x^2+1
10. यदि x-y=6 और x^2+y^2=30 तो xy का मान होगा [2022AII]
(A) 2
(B) -2
(C) 3
(D) -3
4.3 गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण का हल
वस्तुनिष्ठ प्रश्न
1. द्विघात समीकरण x^2+2x-3=0 के मूलों के योग का मान है [ 2017AII]
(A) -2
(B) 2
(C) 1/2
(D) -1/2
2. a^2 p^2 x^2-q^2= 0 के मूल होंगे [2015AII]
(A) (a^2 p^2)/q^2
(B) ap/q (C) q^2/ap
(D) ±q/ap
4.4 द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल करना
वस्तुनिष्ठ प्रश्न
1. यदि x =√(7+4√3 ) तो x+1/x=? [2018AI]
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 6
2. यदि 〖10 〗^2y=25 तो 〖10〗^(-y) = ? [2018AI)
(A) 1/5
(B) 1/50
(C) 1/625
(D) -1/5
3. यदि किसी द्विघात बहुपद x^2-2x+5=0 के मूल α,β हो तो α+β का मान होगा- [2017AI]
(A) -2
(B) 2
(C) 5
(D) – 5
4. यदि x^2+1/x^2 = 14 हो तो x+1/x का मान होगा [2022AII]
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) -2
4.5 मूलों की प्रकृति
वस्तुनिष्ठ प्रश्न
1. यदि समीकरण 3x^2-10x+3=0 का एक मूल है तो दूसरा मूल होगा – [2011AI]
(A) -1/3
(B) 1/3
(C) -3
(D) 3
2. यदि द्विघात समीकरण ax^2+bx=c (a≠0) के मूल α और β हो, तो α+β का मान होगा [2021AI]
(A) (-b)/a
(B) b/a (C)
(-a)/b (D)
(-c)/a
3. द्विघात समीकरण 4y^2+4y+1=0 के मूलों का गुणनफल होगा [2021AI]
(A) 1/4
(B) -1/4
(C) 1
(D) इनमें से कोई नहीं
4. समीकरण 7x^2-12x+18=0 के मूलों के योग एवं मूलों के गुणनफल का अनुपात होगा [2021AI]
(A) 7:12
(B) 7:18
(C) 3:2
(D) 3:3
5. यदि द्विघात समीकरण ax^2+bx+c=0 के मूल बराबर हों, तो c का मान होगा
(A) -b/2a
(B) b/2a
(C) -b^2/4a
(D) -b^2/4
6. द्विघात समीकरण 4x^2+4x+1=0 के मूलों की प्रकृति होगी [2021AI]
(A) वास्तविक और असमान
(B) वास्तविक और बराबर
(C) कोई मूल वास्तविक नहीं
(D) इनमें से कोई नहीं
7. यदि द्विघात समीकरण 9x^2+6kx+4= 0 के मूल वास्तविक एवं समान हों तो का मान होगा [2021AI]
(A) 2 या 0
(B) 2 या 0
(C) 2 या 2
(D) केवल 0
8. निम्नलिखित में से किस समीकरण का एक मूल 2 है? [2021AII]
(A) x^2-4x-21=0
(B) x^2-4x+5=0
(C) x^2-2x+1=0
(D) 2x^2-7x+6=0
9. यदि समीकरण bx^2+ax+c=0 का मूल समान हो, तो c= [2021AII]
(A) (-a^2)/4b
(B) a^2/4b
(C) a/2b
(D) (-a)/2b
10. द्विघात समीकरण x^2-15x+50=0 का विविक्तिकर होगा [2021AI]
(A) 25
(B) 425
(C) 750
(D) -25
1 1. यदि द्विघात समीकरण x^2-px+4=0 के मूल बराबर हों तो p=? [2020AI]
(A) ±3
(B) ±4
(C) ±5
(D) ±2
12. यदि द्विघात समीकरण px^2+4x+3=0 के मूल बराबर हों तो p का मान होगा : [2020AII]
(A)2/3
(B) 4/3
(c) 4/5
(D) 3/5
13. यदि द्विघात समीकरण bx^2+ax+c=0 के मूल समान हैं तो- [2019AI]
(A) b^2-4ac=0
(B) a^2-4ac=0
(C) c^2-4ac=0
(D) a^2-4bc=0
14. k के किस मान के लिए समीकरण kx^2+4x+1=0 के मूल वास्तविक तथा असमान हैं— [2019AII]
(A) k<4
(B) k>4
(C) k=4
(D) k≥24
15. यदि द्विघाती समीकरण ax^2-4ax+2a+1=0 का समान मूल है तो a=? [2018AII]
(A) 0
(B) 1/2
(C) 2
(D) 4
16. द्विघात समीकरण 2x^2-4x+3=0 का विवेचक होगा। [2017AI]
(A)-4
(B) 0
(C) -8
(D) इनमें से कोई नहीं
17. यदि α तथा β द्विघात समीकरण x^2+x-2=0 के मूल हों तो 1/α+1/β का मान होगा— [2015AI]
(A) 1/2
(B) -1/√2
(C) 1
(D) 2
18. यदि द्विघात समीकरण cx^2-bx+a=0 का विवेचक शून्य है तो समान मूल का मान होगा- [2013AI]
(A) b/2c
(B) -b/2a
(C) -b/4ac
(D) a/c
19. किसी द्विघात समीकरण के विवेचक का मान शून्य से बड़ा होने पर दोनों मूल होंगे [2015AII]
(A) वास्तविक और भिन्न
(B) वास्तविक और समान
(C) अवास्तविक और भिन्न
(D) अवास्तविक और समान
20. यदि द्विघात समीकरण 2x^2-px+p=0 का मूल समान हो, तो p का मान होगा [2022AI]
(A) 4
(B) केवल 0
(C) 0,8
(D) केवल 8
21. यदि समीकरण x^2-kx+4=0 का कोई मूल वास्तविक नहीं हो, तो k का मान होगा [2022AI]
(A) k<-4
(B) k>4
(C) -4<k<4
(D) k=4
22. यदि α तथा β द्विघात समीकरण x^2-3√3 x-12=0 के मूल हों, तोα+β-√3 = [2022AII]
(A) 3√3
(B) -4√3
(C) 2√3
(D) 4√3
23. k के किस मान के लिए द्विघात समीकरण 9x^2+3kx+4=0 के मूल समान हैं? [2022AII]
(A) ±5
(B) ±5
(C) ±3
(D) ±9
24. द्विघात समीकरण y^2+3y-18=0 के मूल होंगे [2022011]
(A) -6,3
(B) 6,-3
(C) -6,-3
(D) इनमें से कोई नही
25. द्विघात समीकरण x^2+x+5=0 के मूलों की प्रकृति है [2022A11]
(A) वास्तविक और समान
(B) वास्तविक और असमान
(C) अवास्तविक
(D) इनमें से कोई नही
4.2 द्विघात समीकरण
लघु उत्तरीय प्रश्न
1. यदि 4x^2-25=0, तो x का मान निकालें। [2015AII] 4.3 गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण का हल
अतिलघु उत्तरीय प्रश्न
1. यदि द्विघात समीकरण cx^2-bx+a=0 के मूल α एवं βहों तब α^2+β^2[2016AII] 2. द्विघात समीकरण -3x^2+4x+5 के मूलों का योग कितना होगा? [2013A]
लघु उत्तरीय प्रश्न
1. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण x^2-4x-1=0 का हल निकालें। [2020AI]
2. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 3x^2-4x-1=0 का हल निकालें। [2020AII]
3. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 3x^2-10=0 का हल निकालें। [12019AII]
4. यदि दो लगातार प्राकृत संख्याओं का गुणनफल 20 है, तो उन संख्याओं को ज्ञात करें। [2019AI]
5. द्विघात समीकरण 3x^2-2√6 x+2=0 को गुणनखण्ड विधि से हल करें। [2019AII]
6. एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी का हो तो अन्य दो भुजाओं का मान ज्ञात करें। [2017AII, 2022AII]
7. 13-x^2=〖(x+5)〗^2 को हल करें। [12017C]
8. द्विघात समीकरण 2x^2+x-6=0 के मूल ज्ञात करें।[12017C]
9. गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण x^2-3x-10=0 के मूल ज्ञात करें। [2016AI]
10. हल करें √(13-x^2 ) =x+5 [2015AI,2022AI]
11. किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 10/3 है संख्या ज्ञात करें [2015AII]
12. 51 को ऐसे दो भागों में विभक्त करें जिसका गुणनखण्ड 650 हो [2015C]
13. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए। [12013AI]
14. x^2=9 का हल समुच्चय लिखें। [12012AI]
15. गुणनखण्ड द्वारा समीकरण 2x^2-5x+3=0 का मूल ज्ञात कीजिए [12011AI]
16. गुणनखंड के द्वारा द्विघात समीकरण 4x^2-12x+9= 0 के मूल निकालें।
17. दो लगातार धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करें जिनके वर्गों का योगफल 365 है। [2022AII]
4.4 द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल करना
अतिलघु उत्तरीय प्रश्न
1. ax^2-bx+c=0 के मूलों का योग ….. होगा। [12017C] 2. यदि किसी द्विघात समीकरण के विवेचक शून्य हो तो दोनों मूल ….. होंगे। [2016AI] 3. bx^2+ax-c=0 का विवेचक …… होगा। [2016C]
लघु उत्तरीय प्रश्न
1. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 3x^2-4x-1=0 का हल निकालें। [2020AI] 2. दो संख्याओं का अंतर 4 है तथा उनके व्युत्क्रमों का अंतर 4/21 है। संख्याएँ ज्ञात करें। [202AII] 3. द्विघात समीकरण x^2+7x+10=0 के मूल ज्ञात कीजिए। [2017AII] 4. द्विघात समीकरण 2x^2-2√2 x+1=0 के मूल ज्ञात करें। [2015AII] 5. द्विघात समीकरण √(3x^2 )+8x+4√3=0 के मूलों के योगफल एवं गुणनफल ज्ञात करें। [2014AI] 6. द्विघात समीकरण √2 x^2-6x+2√2=0 के मूलों का योगफल एवं गुणनफल ज्ञात करें। [2014AI] 7. द्विघात समीकरण √(5x^2 )-10x-√5=0 के मूलों के योगफल तथा गुणनफल ज्ञात करें। [2014C] 8. यदि किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 10/3 है तो संख्या ज्ञात करें। [2022AI]
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
1. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10km/h अधिक तेज चलती तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि 10km/h धीमी चलती तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करें। [2018AII, 2020Al]
2. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक हो तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करें। [2019AII]
3. एक ट्रेन एक नियत दूरी को एक समान गति से तय करती है। यदि ट्रेन को गति 10 किमी / घंटा अधिक होती तो यह दूरी नियत समय से 2 घंटा पहले पूरी हो जाती, परंतु यदि ट्रेन की गति 10 किमी/घंटा कम होती तो यह दूरी नियत समय से 3 घंटा अधिक में पूरी होती ट्रेन द्वारा तय की गयी दूरी की गणना करें। [2018AII]
अथवा,
(i) रैखीय समीकरण युग्म px+y=p-q और qx-py=p+q को x तथा y के लिए हल करें।
(ii) रैखीय समीकरण युग्म (a+b)x-2by=(5a+2b+1) और 3x-y=14 के अनगिनत हल के लिए a तथा b का मान निर्धारित करें।
4. दो संख्याओं के वर्गों के अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्य का 8 गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात करें। [2013C, 2022AI]
5. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 मी है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 मी हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
4.5 मूलों की प्रकृति
लघु उत्तरीय प्रश्न
1. द्विघात समीकरण के मूलों के वास्तविक एवं समान होने के लिए शर्तों को लिखें। [2017AII]
2. द्विघात समीकरण x^2-2√2x+1=0 के मूल ज्ञात करें।[2016AI]
3. मूलों की प्रकृति बताइए यदि द्विघात समीकरण 2x^2-6x+3=0 है। [2015A1]
4. k के किस मान के लिए मूल वास्तविक एवं समान होंगे, जिसके लिए द्विघात समीकरण 2x^2+kax+3=0 है ? [2015AI]
5. द्विघात समीकरण 4x^2-5x+3=0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए । [2014AI]
6. द्विघात समीकरण 5x^2-8x+3=0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
[2014All]
7. द्विघात समीकरण 5x^2-4x+2=0 का विवेचक ज्ञात करें। [2012AI]
8. द्विघात समीकरणx^2-2√2 x+1=0 के मूल ज्ञात करें। [2022AI]