यदि आप Bihar Board Class 10th Math Traimasik Paper 2026 PDF Download करना चाहते हैं, तो आप बिल्कुल सही जगह पर आए हैं। बिहार विद्यालय परीक्षा समिति (BSEB) द्वारा आयोजित कक्षा 10वीं त्रैमासिक परीक्षा 2026 का आयोजन 1 जुलाई 2026 से 3 जुलाई 2026 तक किया जा रहा है।

यदि आप बिहार बोर्ड मैट्रिक परीक्षा 2027 में शामिल होने वाले हैं, तो आपके लिए 3 July Class 10th Math Traimasik Exam 2026 देना बेहद महत्वपूर्ण है। इस लेख में आपको 3 July Math Question Paper PDF, Math Answer Key, Objective Answer, Subjective Solution, परीक्षा पैटर्न तथा डाउनलोड लिंक से जुड़ी पूरी जानकारी मिलेगी।

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Bihar Board 10th Math Traimasik Question Paper 2026

बिहार बोर्ड द्वारा आयोजित त्रैमासिक परीक्षा छात्रों की तैयारी को बेहतर बनाने के उद्देश्य से आयोजित की जाती है। इस परीक्षा का प्रश्नपत्र बिहार विद्यालय परीक्षा समिति (BSEB) द्वारा निर्धारित सिलेबस के आधार पर तैयार किया जाता है।

यदि आप इस परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करते हैं, तो बोर्ड परीक्षा 2027 की तैयारी और भी मजबूत हो जाती है। इसलिए सभी छात्रों को इस परीक्षा में अवश्य शामिल होना चाहिए।

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Bihar Board Class 10th Math Traimasik Exam 2026 Overview

विवरण	जानकारी
बोर्ड का नाम	Bihar School Examination Board (BSEB)
परीक्षा	त्रैमासिक (Quarterly) परीक्षा 2026
कक्षा	10वीं
विषय	गणित (Mathematics)
परीक्षा तिथि	3 जुलाई 2026
परीक्षा मोड	Offline
सत्र	2026-27

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3 July Class 10th Math Viral Question Paper 2026 (Exam Pattern)

बिहार बोर्ड की त्रैमासिक परीक्षा में कुल 80 अंक का प्रश्नपत्र दिया जाता है।

वस्तुनिष्ठ (Objective) प्रश्न

• कुल 70 Objective प्रश्न पूछे जाएंगे।
• इनमें से केवल 40 प्रश्नों का उत्तर देना होगा।
• प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का होगा।

विषयनिष्ठ (Subjective) प्रश्न

• कुल 40 अंकों के प्रश्न पूछे जाएंगे।
• इसमें लघु एवं दीर्घ उत्तरीय प्रश्न शामिल होंगे।
• छात्रों को प्रश्नपत्र पर दिए गए निर्देशों के अनुसार उत्तर लिखना होगा।

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Bihar Board Class 10th Math Answer Key 2026 Download

यदि आप 3 July 2026 Math Answer Key डाउनलोड करना चाहते हैं, तो नीचे दिए गए उत्तर देख सकते हैं।

खण्ड – अ (वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

1-B	2-C	3-A	4-A	5-C	6-D	7-C
8-D	9-B	10-D	11-C	12-A	13-C	14-A
15-C	16-B	17-C	18-D	19–	20-B	21-B
22-D	23-B	24-C	25-B	26-D	27-C	28-A
29-B	30-B	31-C	32-B	33-A	34-D	35-A
36-B	37-C	38-D	39-B	40-C	41-B	42-A
43-B	44-B	45-C	46-A	47-B	48-D	49-D
50-B	51-A	52-B	53-D	54-B	55-A	56-C
57-A	58-B	59-B	60-C	61-B	62-D	63-C
64-D	65-B	66-B	67-C	68-A	69-C	70-A

खण्ड – ब (विषयनिष्ठ प्रश्न

यदि आप सभी सब्जेक्टिव प्रश्न को डाउनलोड करना चाहते है तो आप सभी निचे दिए गए लिंक के माध्यम से डाउनलोड कर सकते है

• सब्जेक्टिव प्रश्न डाउनलोड
• WhatsApp Channel ज्वाइन
• संस्कृत द्वितीय पाली

खण्ड – ब (लघु उत्तरीय प्रश्न)

Q1. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म की सहायता से 867 तथा 255 का म०स० (HCF) ज्ञात करें।

हल:

यहाँ बड़ी संख्या a = 867 तथा छोटी संख्या b = 255 है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से: a = bq + r (जहाँ 0 ≤ r < b)

चरण 1: 867 में 255 से भाग देने पर:
867 = 255 × 3 + 102 यहाँ शेषफल r = 102 ≠ 0 है।

चरण 2: अब भाजक 255 और नए शेषफल 102 के लिए:
255 = 102 × 2 + 51 यहाँ शेषफल r = 51 ≠ 0 है।

चरण 3: अब भाजक 102 और नए शेषफल 51 के लिए:
102 = 51 × 2 + 0 यहाँ शेषफल r = 0 आ गया है।

चूँकि इस चरण पर शेषफल शून्य प्राप्त हुआ है, अतः अंतिम भाजक ही म०स० (HCF) होगा।
उत्तर: म०स० (HCF) = 51

Q2. सिद्ध करें कि √3 + 2 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना कि √3 + 2 एक परिमेय संख्या है।
इसलिए, हम इसे परिमेय संख्या r के बराबर मान सकते हैं:
√3 + 2 = r दोनों पक्षों से 2 घटाने पर:
√3 = r – 2 चूँकि r एक परिमेय संख्या है, इसलिए r – 2 भी एक परिमेय संख्या होगी।
परन्तु हम जानते हैं कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।

अतः, अपरिमेय संख्या = परिमेय संख्या यह कथन विरोधाभासी है, जो हमारी गलत कल्पना के कारण उत्पन्न हुआ है।
अतः, सिद्ध हुआ कि √3 + 2 एक अपरिमेय संख्या है।

Q3. सबसे छोटी अभाज्य संख्या तथा सबसे छोटी यौगिक संख्या का म०स० (HCF) ज्ञात करें।

हल:

सबसे छोटी अभाज्य संख्या (Smallest Prime Number) = 2
सबसे छोटी यौगिक (भाज्य) संख्या (Smallest Composite Number) = 4

अब, 2 और 4 का अभाज्य गुणनखंड करने पर:
2 = 2 × 1
4 = 2 × 2

दोनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड (Common Factor) 2 है।
उत्तर: म०स० (HCF) = 2

Q4. 2431 को इसके अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

हल:

संख्या 2431 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए क्रमिक अभाज्य संख्याओं से विभाजन की जाँच करते हैं:
यह संख्या 2, 3, 5, 7 से विभाजित नहीं होती है।

11 से विभाजित करने पर:
2431 ÷ 11 = 221 अब, 221 को 13 से विभाजित करने पर:
221 ÷ 13 = 17 चूँकि 17 स्वयं एक अभाज्य संख्या है, इसलिए प्रक्रिया समाप्त होती है।

अतः, 2431 के अभाज्य गुणनखंड हैं:
2431 = 11 × 13 × 17

Q5. यदि x = 0.254 (यहाँ 54 पर बार है) तो इसे भिन्न के सरलतम रूप में व्यक्त करें।

हल:

दिया है: x = 0.2545454… ——– (समीकरण 1) समीकरण (1) के दोनों पक्षों में 10 से गुणा करने पर:
10x = 2.545454… ——– (समीकरण 2) समीकरण (2) के दोनों पक्षों में 100 से गुणा करने पर (क्योंकि आवर्ती भाग में दो अंक 54 हैं):
1000x = 254.545454… ——– (समीकरण 3) समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर:
1000x – 10x = 254.545454… – 2.545454…990x = 252x = 252 / 990 सरलतम रूप में बदलने पर (दोनों पक्षों को 18 से विभाजित करने पर):
x = 14 / 55उत्तर: भिन्न का सरलतम रूप = 14/55

Q6. यदि α तथा β बहुपद 2x² + 7x + 5 के शून्यक हैं तो α + β + αβ का मान निकालें।

हल:

बहुपद 2x² + 7x + 5 की तुलना ax² + bx + c से करने पर:
यहाँ, a = 2, b = 7, c = 5 है।

शून्यकों का योग (α + β) = -b/a = -7/2
शून्यकों का गुणनफल (αβ) = c/a = 5/2

अब, हमें α + β + αβ का मान निकालना है:
α + β + αβ = (-7/2) + (5/2)α + β + αβ = (-7 + 5) / 2 = -2 / 2 = -1उत्तर: -1

Q7. एक बहुपद को ज्ञात करें जिसके शून्यक 3 तथा -2 हैं।

हल:

माना शून्यक α = 3 तथा β = -2 हैं।

शून्यकों का योगफल (S) = α + β = 3 + (-2) = 1
शून्यकों का गुणनफल (P) = α × β = 3 × (-2) = -6

द्विघात बहुपद का सूत्र:
p(x) = x² – (शून्यकों का योगफल)x + शून्यकों का गुणनफलp(x) = x² – (1)x + (-6) = x² – x – 6उत्तर: द्विघात बहुपद x² – x – 6 है।

Q8. द्विघात समीकरण 9x² + 7x – 2 = 0 का विवेचक (Discriminant) ज्ञात करें तथा मूलों की प्रकृति लिखें।

हल:

दिए गए समीकरण 9x² + 7x – 2 = 0 में:
यहाँ, a = 9, b = 7, c = -2 है।

विवेचक (D) का सूत्र:
D = b² – 4acD = (7)² – 4 × 9 × (-2)D = 49 + 72 = 121 यहाँ, D = 121 है जो कि 0 से बड़ा है (D > 0)।

मूलों की प्रकृति: चूँकि विवेचक धनात्मक और एक पूर्ण वर्ग संख्या है, अतः मूल वास्तविक, परिमेय और असमान (Real, Rational and Unequal) होंगे।
उत्तर: विवेचक (D) = 121; मूल वास्तविक और असमान हैं।

Q9. एक द्विघात समीकरण लिखें जिसके मूल -9 तथा 4 हैं।

हल:

माना मूल α = -9 और β = 4 हैं।

मूलों का योग = α + β = -9 + 4 = -5
मूलों का गुणनफल = α × β = -9 × 4 = -36

द्विघात समीकरण का सूत्र:
x² – (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0x² – (-5)x + (-36) = 0x² + 5x – 36 = 0उत्तर: x² + 5x – 36 = 0

Q10. यदि दो प्राकृत संख्याओं का योग 27 है तथा उनका गुणनफल 182 हो तो उन सम्बन्धों को समीकरण के द्वारा प्रदर्शित करें।

हल:

माना पहली प्राकृत संख्या = x
चूँकि दोनों संख्याओं का योग 27 है, अतः दूसरी प्राकृत संख्या = 27 – x

प्रश्न से, दोनों संख्याओं का गुणनफल 182 है:
x × (27 – x) = 182 कोष्ठक खोलने पर:
27x – x² = 182 पदों को व्यवस्थित करने पर:
x² – 27x + 182 = 0उत्तर: अभीष्ट द्विघात समीकरण x² – 27x + 182 = 0 है।

Q11. बिन्दुओं (a + b, a – b) तथा (a – b, a + b) के बीच की दूरी ज्ञात करें।

हल:

यहाँ, x₁ = a + b, y₁ = a – b तथा x₂ = a – b, y₂ = a + b है।

दूरी का सूत्र:
d = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²] मान रखने पर:
d = √[((a – b) – (a + b))² + ((a + b) – (a – b))²]d = √[(-2b)² + (2b)²]d = √[4b² + 4b²] = √[8b²] सरल करने पर:
d = 2√2 bउत्तर: दूरी = 2√2 b इकाई

Q12. यदि बिन्दुओं (x, 4) तथा (9, 10) के बीच की दूरी 10 इकाई हो तो x का मान ज्ञात करें।

हल:

दूरी सूत्र से:
√[(9 – x)² + (10 – 4)²] = 10 दोनों तरफ वर्ग (Squaring) करने पर:
(9 – x)² + (6)² = 100(9 – x)² + 36 = 100(9 – x)² = 100 – 36 = 64 वर्गमूल लेने पर:
9 – x = ±8
स्थिति 1: यदि 9 – x = 8, तो:
x = 9 – 8 = 1
स्थिति 2: यदि 9 – x = -8, तो:
x = 9 + 8 = 17
उत्तर: x = 1 या 17

Q13. थेल्स प्रमेय के कथन को लिखें एवं चित्र द्वारा व्यक्त करें।

हल:

कथन (Statement): यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएं एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

दिए गए चित्र में, त्रिभुज ABC में भुजा BC के समांतर रेखा DE खींची गई है:
DE || BC थेल्स प्रमेय के अनुसार:
AD / DB = AE / EC A B C D E

Q14. किन्हीं दो त्रिभुजों की समरूपता की SSS तथा SAS स्थितियों को व्यक्त करें।

हल:

1. SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी:
यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं के समानुपाती हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
जैसे, यदि ΔABC और ΔDEF में: AB/DE = BC/EF = AC/DF तो ΔABC ~ ΔDEF.

2. SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी:
यदि किसी त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक संगत कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
जैसे, यदि ΔABC और ΔDEF में: ∠A = ∠D और AB/DE = AC/DF तो ΔABC ~ ΔDEF.

Q15. tan θ को cosec θ के रूप में व्यक्त करें।

हल:

हम जानते हैं कि: tan θ = sin θ / cos θ चूँकि sin θ = 1 / cosec θ और cos θ = √(1 – sin²θ) होता है:
cos θ = √[1 – (1 / cosec θ)²]cos θ = √[1 – 1 / cosec²θ] = √[(cosec²θ – 1) / cosec²θ]cos θ = √(cosec²θ – 1) / cosec θ अब tan θ के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
tan θ = (1 / cosec θ) / [√(cosec²θ – 1) / cosec θ] सरल करने पर cosec θ कट जाएगा:
tan θ = 1 / √(cosec²θ – 1)उत्तर: tan θ = 1 / √(cosec²θ – 1)

Q16. त्रिभुज ABC में सिद्ध करें कि: sin (A + B)/2 = cos C/2

हल:

त्रिभुज ABC में तीनों कोणों का योग 180° होता है:
A + B + C = 180° C को दूसरी तरफ भेजने पर:
A + B = 180° – C दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
(A + B) / 2 = 90° – C/2 दोनों ओर Sine (sin) अनुपात लेने पर:
sin((A + B) / 2) = sin(90° – C/2) चूँकि sin(90° – θ) = cos θ होता है, अतः:
sin((A + B) / 2) = cos(C/2)इति सिद्धम् (Hence Proved)

Q17. दिए गए चित्र में, TP तथा TQ स्पर्श रेखाएँ हैं तथा वृत्त का केन्द्र O इस प्रकार है कि ∠POQ = 110° तो ∠PTQ का मान निकालें।

हल:

हम जानते हैं कि वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अतः, ∠OPT = 90° और ∠OQT = 90° है।

चतुर्भुज OPTQ में चारों कोणों का योग 360° होता है:
∠OPT + ∠POQ + ∠OQT + ∠PTQ = 360°90° + 110° + 90° + ∠PTQ = 360°290° + ∠PTQ = 360°∠PTQ = 360° – 290° = 70°उत्तर: ∠PTQ = 70° O T P Q 110°

Q18. ΔABC ~ ΔPQR तथा उनकी परिमितियाँ क्रमशः 32 सेमी तथा 24 सेमी हैं। यदि AB = 10 सेमी तो PQ की लम्बाई ज्ञात करें।

हल:

दो समरूप त्रिभुजों की परिमितियों (Perimeters) का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है:
परिमिति(ΔABC) / परिमिति(ΔPQR) = AB / PQ दिए गए मानों को रखने पर:
32 / 24 = 10 / PQ अनुपात को सरल करने पर:
4 / 3 = 10 / PQ वज्र गुणन करने पर:
4 × PQ = 30PQ = 30 / 4 = 7.5 सेमीउत्तर: PQ = 7.5 सेमी

Q19. O केन्द्र वाले वृत्त पर किसी बाह्य बिन्दु A से AB एक स्पर्श रेखा खींची गई है जिसकी लम्बाई 35 सेमी है तथा त्रिज्या OB की लम्बाई 12 सेमी हो तो वृत्त के केन्द्र से बाह्य बिन्दु की दूरी निकालें।

हल:

वृत्त के स्पर्श बिन्दु B पर त्रिज्या OB, स्पर्श रेखा AB पर लम्ब होती है।
इसलिए, ΔOBA एक समकोण त्रिभुज है जहाँ ∠OBA = 90° है।

पाइथागोरस प्रमेय से:
OA² = AB² + OB²OA² = (35)² + (12)²OA² = 1225 + 144OA² = 1369 वर्गमूल लेने पर:
OA = √1369 = 37 सेमीउत्तर: वृत्त के केन्द्र से बाह्य बिन्दु की दूरी = 37 सेमी

Q20. 21 सेमी त्रिज्या तथा 120° केन्द्रीय कोण वाले त्रिज्यखण्ड के चाप की लम्बाई ज्ञात करें।

हल:

त्रिज्या (r) = 21 सेमी, केन्द्रीय कोण (θ) = 120°

चाप की लम्बाई (l) का सूत्र:
l = (θ / 360°) × 2πr मान रखने पर (π = 22/7):
l = (120° / 360°) × 2 × (22 / 7) × 21l = (1 / 3) × 2 × 22 × 3 3 से 3 कट जाएगा:
l = 2 × 22 = 44 सेमीउत्तर: चाप की लम्बाई = 44 सेमी

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Questions)

Q21. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0, तो सिद्ध करें कि: x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

हल / उपपत्ति (Proof):

दिया गया द्विघात समीकरण है:
ax² + bx + c = 0 चूँकि a ≠ 0 है, दोनों पक्षों को a से भाग देने पर:
x² + (b/a)x + c/a = 0 अचर पद को दायें पक्ष में ले जाने पर:
x² + (b/a)x = -c/a बायें पक्ष को पूर्ण वर्ग (Perfect Square) बनाने के लिए दोनों पक्षों में (b / 2a)² जोड़ने पर:
x² + (b/a)x + (b / 2a)² = (b / 2a)² – c/a बायें पक्ष को वर्ग के रूप में लिखने पर:
(x + b / 2a)² = (b² / 4a²) – c/a दायें पक्ष का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर:
(x + b / 2a)² = (b² – 4ac) / 4a² दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
x + b / 2a = ± √(b² – 4ac) / 2a अब b / 2a का पक्षान्तरण करने पर:
x = -b / 2a ± √(b² – 4ac) / 2a हर (Denominator) समान होने के कारण:
x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2aइति सिद्धम् (Hence Proved)

Q22. वज्र गुणन विधि (Cross-multiplication method) से युगपत् रैखिक समीकरणों को हल करें:
3x – 2y + 3 = 0
4x + 3y – 47 = 0

हल:

दिए गए समीकरणों की तुलना व्यापक रूप a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर:
यहाँ:
a₁ = 3, b₁ = -2, c₁ = 3
a₂ = 4, b₂ = 3, c₂ = -47

वज्र गुणन सूत्र के अनुसार:
x / (b₁c₂ – b₂c₁) = y / (c₁a₂ – c₂a₁) = 1 / (a₁b₂ – a₂b₁) मानों को रखने पर:
x / [(-2)(-47) – (3)(3)] = y / [(3)(4) – (-47)(3)] = 1 / [(3)(3) – (4)(-2)] गुणा करने पर:
x / [94 – 9] = y / [12 – (-141)] = 1 / [9 – (-8)]x / 85 = y / [12 + 141] = 1 / [9 + 8]x / 85 = y / 153 = 1 / 17
अब x का मान निकालने पर:
x / 85 = 1 / 17 ⇒ x = 85 / 17 = 5
अब y का मान निकालने पर:
y / 153 = 1 / 17 ⇒ y = 153 / 17 = 9
उत्तर: x = 5, y = 9

Q23. युगपत् रैखिक समीकरणों को आलेखीय विधि (Graphical method) से हल करें:
3x + 2y = 12
5x – 2y = 4

हल:

समीकरण (1): 3x + 2y = 12
2y = 12 – 3x ⇒ y = (12 – 3x) / 2
बिन्दु सारणी:
– यदि x = 0 तो y = 6, बिन्दु A(0, 6)
– यदि x = 2 तो y = 3, बिन्दु B(2, 3)
– यदि x = 4 तो y = 0, बिन्दु C(4, 0)

समीकरण (2): 5x – 2y = 4
2y = 5x – 4 ⇒ y = (5x – 4) / 2
बिन्दु सारणी:
– यदि x = 0 तो y = -2, बिन्दु D(0, -2)
– यदि x = 2 तो y = 3, बिन्दु E(2, 3)
– यदि x = 4 तो y = 8, बिन्दु F(4, 8)

आलेख विश्लेषण:
जब हम दोनों रेखाओं को ग्राफ पेपर पर खींचते हैं, तो दोनों रेखाएँ परस्पर बिन्दु (2, 3) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
उत्तर: x = 2, y = 3

Q24. क्या बिन्दु (-2/3, 3), (6, -2) तथा (-3, 4) एकरेखीय (Collinear) हैं? जाँच करें।

हल:

माना बिन्दु A(x₁, y₁) = (-2/3, 3), B(x₂, y₂) = (6, -2) तथा C(x₃, y₃) = (-3, 4) हैं।
बिन्दुओं के एकरेखीय होने के लिए इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र:
Area = ½ | x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂) | मान रखने पर:
Area = ½ | (-2/3)(-2 – 4) + 6(4 – 3) + (-3)(3 – (-2)) |Area = ½ | (-2/3)(-6) + 6(1) – 3(5) |Area = ½ | 4 + 6 – 15 |Area = ½ | 10 – 15 | = ½ | -5 | = 2.5 चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल 2.5 ≠ 0 है।
निष्कर्ष: दिए गए बिन्दु एकरेखीय (Collinear) नहीं हैं।

Q25. यदि दो त्रिभुजों में संगत कोण समान हों तो सिद्ध करें कि उनकी संगत भुजाएँ समानुपात में होती हैं। (AAA समरूपता)

हल / उपपत्ति:

माना दो त्रिभुज ΔABC तथा ΔDEF हैं जिनमें संगत कोण समान हैं:
∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F हमें सिद्ध करना है कि:
AB/DE = AC/DF = BC/EF
रचना (Construction):
त्रिभुज DEF में, DP = AB और DQ = AC काटा और PQ को मिलाया।

प्रमाण (Proof):
ΔABC और ΔDPQ में:
– AB = DP (रचना से)
– AC = DQ (रचना से)
– ∠A = ∠D (दिया है)
अतः, SAS सर्वांगसमता कसौटी से: ΔABC ≅ ΔDPQ

सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCT):
∠B = ∠DPQ परन्तु हमें दिया है कि ∠B = ∠E, इसलिए:
∠DPQ = ∠E चूँकि संगत कोण बराबर हैं, इसलिए:
PQ || EF थेल्स प्रमेय (BPT) के द्वारा:
DP / DE = DQ / DF DP और DQ के स्थान पर क्रमशः AB और AC रखने पर:
AB / DE = AC / DF इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि: AB / DE = BC / EF
अतः, AB / DE = AC / DF = BC / EFइति सिद्धम्

Q26. ज्यामिति की सहायता से cos 30° का मान ज्ञात करें।

हल:

माना कि ABC एक समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) है जिसकी प्रत्येक भुजा 2a के बराबर है।
AB = BC = CA = 2a चूँकि यह समबाहु त्रिभुज है, इसलिए प्रत्येक कोण 60° का होगा:
∠A = ∠B = ∠C = 60° अब, शीर्ष A से भुजा BC पर एक लम्ब AD खींचा (AD ⊥ BC)।
चूँकि समबाहु त्रिभुज में शीर्षलम्ब ही माध्यिका होती है, अतः:
BD = CD = a और कोण A दो बराबर भागों में विभाजित होगा: ∠BAD = 30°.

समकोण त्रिभुज ABD में, पाइथागोरस प्रमेय से:
AB² = AD² + BD²(2a)² = AD² + a²4a² = AD² + a²AD² = 3a² ⇒ AD = a√3
अब, समकोण त्रिभुज ABD में कोण 30° (∠BAD) के लिए:
आधार (Base) = AD = a√3
कर्ण (Hypotenuse) = AB = 2a

त्रिकोणमितीय अनुपात से:
cos 30° = आधार / कर्ण = AD / ABcos 30° = a√3 / 2a = √3 / 2उत्तर: cos 30° = √3 / 2

Q27. निम्नांकित बारम्बारता वितरण सारणी का माध्य निकालें:

हल:

माध्य की गणना प्रत्यक्ष विधि से करने के लिए तालिका निम्नवत तैयार की गई है:

वर्ग अंतराल	बारम्बारता (f)	वर्ग चिन्ह (x)	f × x
0 – 20	6	10	60
20 – 40	8	30	240
40 – 60	10	50	500
60 – 80	12	70	840
80 – 100	6	90	540
100 – 120	5	110	550
120 – 140	3	130	390
कुल (Total)	∑f = 50	–	∑fx = 3120

माध्य (Mean) का सूत्र:
माध्य (μ) = ∑fx / ∑fमाध्य = 3120 / 50 = 312 / 5 = 62.4उत्तर: माध्य = 62.4

Bihar Board Class 10th Hindi Traimasik Paper 2026 FAQ